제이만 효과

제이만 효과는 자기장이 원자의 축퇴된 에너지 준위를 갈라지게 하는 현상이다. 약한 자기장에서는 스핀-궤도 커플링(Spin-Orbit Coupling)이 주요한 항이나, 강한 자기장이 가해지면 스핀-외부 자기장 간의 상호작용이 주요한 항이 된다. 물론 중간 정도 되는 자기장에서는 한쪽을 주요 항으로 두는 근사를 할 수 없으니 유의하자. 한편, 강한 자기장으로 갈 수록 에너지 준위가 서로 겹치지 않으려 하는 Non-crossing Theorem이 적용된다.

우선, 전자기장이 그 자체로 운동량을 가지고 있으며, 따라서 외부 전자기장이 가해졌을 때 전자의 운동량이 변화하게 된다. 이러한 보정을 다음과 같은 해밀토니안의 수정으로 나타낼 수 있다.

$\displaystyle {\mathcal{H}} = \dfrac{1}{2m}(\bold{p} + e\bold{A})^2 + V(r)$

여기서 $\bold{A}$는 전자기 벡터 포텐셜이다. (전자기학 할 때 $\bold{B} = \nabla \times \bold{A}$에서 나오는 그 벡터 포텐셜이다.) 다시 위의 해밀토니안을 정리하면

$\displaystyle {\mathcal{H}} = {1 \over 2m}\bold{p}^2 + V(r) + {e \over m}(\bold{A} \cdot \bold{p}) + {e^2 \over 2m}|\bold{A}|^2$

만일 균일한 자기장이 걸리는 경우에는 $\bold{A} = \dfrac{1}{2}(\bold{B} \times \bold{r})$로 쓸 수 있으므로

$\displaystyle \bold{A} \cdot \bold{p} = {1\over 2}(\bold{B} \times \bold{r})\cdot \bold{p} = {1\over 2}\bold{B} \cdot (\bold{r} \times \bold{p}) = {1\over 2}\bold{B} \cdot \bold{l}$

따라서 이에 대한 보정항은 $\dfrac{e}{2m}\bold{B} \cdot \bold{l}$이 될 것이다. 이 항이 강한 자기장이 걸릴 때의 값임을 곧 알게 될 것이다.

강한 자기장은 전자의 각운동량과 상호작용 할 것이다. 이에 대한 자세한 내용은 라모 세차 및 토마스 세차를 참고하자. 해당 내용들의 결과는 단순히 $\mathcal{H} = \dfrac{e}{ 2m}\bold{B} \cdot \bold{J}$로 주어지는 것이 아니라(여기서 $\bold{J}$는 Total angular momentum) 아래와 같이 주어지게 된다.

$\mathcal{H} = \dfrac{e}{2m}\bold{B} \cdot (g_l\bold{L}+g_e\bold{S})$

위 식에서 Dirac particle인 경우에 $g_l =1$및 $g_e = 2$로 놓는다. [1] 따라서

$\mathcal{H} = \dfrac{e}{2m}\bold{B} \cdot (\bold{L}+2\bold{S})$

이고, $\bold{B}$ // $\bold{L}, \bold{B}$//$\bold{S}$ 라고 두면 Zeeman term은

$E_{Z} = \mu_B(m_l + 2m_s)B$

이 된다. 즉 이 결과는 강한 자기장이 걸리는 경우에는 다음의 양자수 합 $(m_l + 2m_s)$ 에 의해서 축퇴(Degenerated)된 상태들이 풀리게 된다.

외부 자기장이 약한 경우에는 외부 자기장 항이 그렇게 주요한 항이 아니다. 이 경우에는 오히려 원자 내의 전자 궤도와 전자의 스핀이 서로 상호작용하는 것이 외부 자기장에 의한 효과보다 훨씬 강력하기 때문이다.

전자에 대해서 스핀 - 궤도에 대한 보정항은 다음과 같다.

$\displaystyle \mathcal{H}_{\textrm{SO}, \mathsf{uncorrected}} = \boldsymbol{\mu}_{e}\cdot\bold{B} = \frac{-g_e\mu_B\bold{s}}{\hbar}\cdot\frac{Ze}{ 4\pi\epsilon_0r^3c^2}\bold{v}\times\bold{r}$

그러나 실제로 토마스 인자(Thomas factor)에 의해서 위 보정항의 실제 크기는 절반이다. 즉 1/2를 곱해야 한다.

$\displaystyle \mathcal{H}_{\textrm{SO}} = \frac{1}{2} \frac{-g_e\mu_B\bold{s}}{\hbar}\cdot \frac{Ze}{ 4\pi\epsilon_0r^3c^2}\bold{v}\times\bold{r}$
$\displaystyle \mathcal{H}_{\textrm{SO}} = \frac{1}{ 2}\left(\frac{e\hbar }{ mc}\right)^2\frac{Z}{ 4 \pi \epsilon_0 r^3}\left(\frac{\bold{l}\cdot \bold{s}}{\hbar^2}\right)$

이제 이 보정된 해밀토니안의 기댓값을 계산하도록 하자.

$\displaystyle {E}_{\textrm{SO}} = <nlm_lsm_s|\mathcal{H}_{\textrm{SO}}|nlm_lsm_s> = \frac{1}{ 2}\left(\frac{e\hbar }{ mc}\right)^2\frac{Z}{ 4 \pi \epsilon_0} \left<\frac{1}{ r^3}\right>\left<\bold{l} \cdot \bold{s}\right>$

수소 유사 원자(Hydrogen like atom)인 경우

$\displaystyle {} <\frac{1}{ r^3}> = \frac{2Z^3 }{ a_{\mu}^3 n^3 l(l+1)(2l+1)}( = \frac{2}{ a^3 n^3 l(l+1)(2l+1)})$

를 이용하고 총 각운동량의 정의 $\bold{j} = \bold{l} + \bold{s}$임을 이용하면 $<\bold{l} \cdot \bold{s}> = \dfrac{1}{ 2}\left<j^2 - l^2 - s^2\right> = \dfrac{\hbar^2 }{ 2}(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1))$임을 알 수 있으므로 최종적으로 스핀-궤도 상호작용에 의한 에너지 이동을 계산할 수 있다.

$\displaystyle {E}_{\textrm{SO}} = \left(\frac{e\hbar^2 }{ mc}\right)^2\frac{1 }{ 8 \pi \epsilon_0} \frac{Z^4 }{ a_{\mu}^3 n^3 l(l+1)(2l+1)}(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1))$

다시봐도 징그럽다.. 그러나 초미세구조는 더 더럽다